Найти разложение вектора a по векторам b и c, если в некотором базисе: a(2, - 5), b(-3, -4), c(0, 1).
Чтобы найти разложение вектора \( a \) по векторам \( b \) и \( c \), мы можем выразить вектор \( a \) как линейную комбинацию векторов \( b \) и \( c \). Это означает, что мы должны найти такие скаляры \( k_1 \) и \( k_2 \), что:
\[ a = k_1 b + k_2 c \]
Подставим значения векторов:
\[ (2, -5) = k_1(-3, -4) + k_2(0, 1) \]
Это можно разложить на уравнения по координатам:
Для первой координаты: \[ 2 = -3k_1 + 0k_2 \implies 2 = -3k_1 \]
Для второй координаты: \[ -5 = -4k_1 + 1k_2 \]
Теперь решим первое уравнение для \( k_1 \):
\[ k_1 = -\frac{2}{3} \]
Подставим значение \( k_1 \) во второе уравнение:
\[ -5 = -4\left(-\frac{2}{3}\right) + k_2 \] \[ -5 = \frac{8}{3} + k_2 \]
Теперь выразим \( k_2 \):
\[ k_2 = -5 - \frac{8}{3} = -\frac{15}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{23}{3} \]
Таким образом, мы нашли \( k_1 \) и \( k_2 \):
\[ k_1 = -\frac{2}{3}, \quad k_2 = -\frac{23}{3} \]
Теперь можно записать разложение вектора \( a \):
\[ a = -\frac{2}{3} b - \frac{23}{3} c \]
Таким образом, вектор \( a \) выражается через векторы \( b \) и \( c \) с коэффициентами \( -\frac{2}{3} \) и \( -\frac{23}{3} \) соответственно.
