F(x) =√x^2-5x+6 найти область определения

Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6} \), нужно определить значения \( x \), для которых выражение под квадратным корнем неотрицательно. Это значит, что нужно решить неравенство:

\[ x^2 - 5x + 6 \geq 0. \]

Сначала найдем корни этого квадратного уравнения, решив уравнение:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0. \]

Для этого можно использовать дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1. \]

Корни уравнения находят по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}. \]

Таким образом, получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2. \]

Теперь необходимо проанализировать знаки выражения \( x^2 - 5x + 6 \) на интервалах, определяемых этими корнями: \( (-\infty, 2) \), \( (2, 3) \) и \( (3, +\infty) \).

1. Для интервала \( (-\infty, 2) \) подставим, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 \geq 0, \] значит, на этом интервале выражение неотрицательно.

2. Для интервала \( (2, 3) \) подставим \( x = 2.5 \): \[ (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0, \] значит, на этом интервале выражение отрицательно.

3. Для интервала \( (3, +\infty) \) подставим \( x = 4 \): \[ 4^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \geq 0, \] значит, на этом интервале выражение снова неотрицательно.

Таким образом, область определения функции \( f(x) \) — это объединение интервалов, где выражение неотрицательно. Включаем корни, так как при \( x = 2 \) и \( x = 3 \) функция принимает значение 0:

\[ D_f = (-\infty, 2] \cup [3, +\infty). \]

Таким образом, область определения функции \( f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6} \) равна \( (-\infty, 2] \cup [3, +\infty) \).