. Миша покупает ручку (Р), ластик (Л) и карандаш (К). Продавец достает товары в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что: а) сначала продавец достанет ластик; б)…
. Миша покупает ручку (Р), ластик (Л) и карандаш (К). Продавец достает товары в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что: а) сначала продавец достанет ластик; б) продавец достанет ручку в последнюю очередь; в) продавец сначала достанет ручку, а в последнюю очередь—ластик; г) карандаш будет извлечен раньше, чем ластик. 6. Шахматный слон может за один ход перейти на любое число полей, двигаясь только по диагонали. Шахматный слон случайным образом поставлен на доску. Найдите вероятность того, что он сможет за один ход перейти на поле: А) f6 Б) с2
- Для решения задач с вероятностями, связанных с выбором предметов, мы можем использовать комбинаторные методы.
Рассмотрим, что Миша покупает три предмета: ручку (Р), ластик (Л) и карандаш (К). Общее количество способов расположить 3 предмета можно определить как факториал числа предметов:
\[ 3! = 6. \]
А именно, возможные последовательности (порядки):
- Р, Л, К
- Р, К, Л
- Л, Р, К
- Л, К, Р
- К, Р, Л
- К, Л, Р
Теперь решим каждый пункт:
а) Найдем вероятность того, что сначала продавец достанет ластик (Л). Из 6 последовательностей лишь 2 начинаются с Л: "Л, Р, К" и "Л, К, Р". Вероятность:
\[ P(Л первым) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
б) Найдем вероятность того, что ручка (Р) будет последней. Из тех же 6 последовательностей только 2 заканчиваются на Р: "Л, К, Р" и "К, Л, Р". Вероятность:
\[ P(Р последним) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
в) Найдем вероятность того, что сначала достанут ручку (Р), а в последнюю очередь ластик (Л). В этом случае остаются только 2 позиции для карандаша (К): "Р, К, Л" и "Р, Л, К". Вероятность:
\[ P(Р первым, Л последним) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
г) Найдем вероятность того, что карандаш (К) будет извлечен раньше, чем ластик (Л). Из 6 последовательностей мы можем увидеть, что 4 из них имеют К перед Л: "Р, К, Л", "К, Р, Л", "К, Л, Р", "Р, Л, К". Вероятность:
\[ P(К раньше Л) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]
- Для шахматного слона допускаем, что он может находиться на любом поле доски. Мы будем определять все возможные начальные позиции слона и вероятность его перехода на указанные поля.
А) Поле f6 находится на одной из черных клеток. Слон может быть помещен на любую клетку, расположенную на диагоналях, ведущих к f6. Для этого слон может быть помещен на следующие клетки:
- e7, d8 (по вертикали сгенерированного направления)
- e5, d4, c3, b2, a1 (по горизонтали сгенерированного направления)
- g7, h8 (по вертикали к другой стороне диагонали)
- g5, h4, ... (по диагонали в другую сторону) Таким образом, всего получается 14 различных исходных клеток, с которых слон может дойти до f6, от общего количества 64 клеток. Вероятность:
\[ P(на f6) = \frac{14}{64} = \frac{7}{32}. \]
Б) Поле c2 также является одной из черных клеток. Аналогично, слон может быть помещен на следующие клетки:
- b3, a4 (по вертикали снизу вверх)
- d3, e4, f5, g6, h7 (по вертикали сверху вниз)
- a1, b1, d1, e1, f1, g1, h1 (по горизонтали)
- b3, d3 (по диагонали из левого верхнего угла) Таким образом, всего получается 12 различных исходных клеток, с которых слон может дойти до c2, от общего количества 64 клеток. Вероятность:
\[ P(на c2) = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}. \]
