Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, заданных своими координатами в ортонормированном базисе: a(2, 3, 5) b(-4, 0, 2).
Чтобы вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), необходимо использовать формулу, основанную на векторном произведении.
Векторы заданы так: \[ \mathbf{a} = (2, 3, 5), \quad \mathbf{b} = (-4, 0, 2). \]
Площадь \( S \) параллелограмма, образованного этими векторами, равна норме (длине) их векторного произведения \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \): \[ S = \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|. \]
Сначала найдем векторное произведение \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \). Используем определитель матрицы из координат векторов: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 5 \\ -4 & 0 & 2 \end{vmatrix} \]
Раскрываем определитель: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}. \]
Вычислим каждую из оставшихся определителей:
- \(\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 - 5 \cdot 0 = 6,\)
- \(\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 5 \cdot (-4) = 4 + 20 = 24,\)
- \(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-4) = 0 + 12 = 12.\)
Теперь подставим найденные значения в формулу для векторного произведения: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = 6\mathbf{i} - 24\mathbf{j} + 12\mathbf{k} = (6, -24, 12). \]
Теперь найдем норму этого вектора: \[ \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \sqrt{6^2 + (-24)^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 576 + 144} = \sqrt{756}. \]
Упростим \(\sqrt{756}\): \[ 756 = 36 \cdot 21, \quad \sqrt{756} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{21} = 6\sqrt{21}. \]
Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), равна: \[ S = 6\sqrt{21}. \]
