x²+1>5
Рассмотрим неравенство \( x^2 + 1 > 5 \).
Начнем с того, что нужно упростить неравенство. Переносим 5 в левую часть:
\[ x^2 + 1 - 5 > 0 \]
Это приводит нас к следующему выражению:
\[ x^2 - 4 > 0 \]
Теперь мы можем разложить квадрат на множители:
\[ (x - 2)(x + 2) > 0 \]
Далее, мы определим, когда произведение двух множителей больше нуля. Для этого мы найдем нули множителей, решая уравнения:
\[ x - 2 = 0 \quad \text{(равно 2)} \] \[ x + 2 = 0 \quad \text{(равно -2)} \]
То есть, нули из функции – это \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
Эти точки делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Теперь мы проверим знак произведения \( (x - 2)(x + 2) \) на каждом из этих интервалов.
- Для интервала \( (-\infty, -2) \): Пусть \( x = -3 \) \[ (-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 > 0 \]
- Для интервала \( (-2, 2) \): Пусть \( x = 0 \) \[ (0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 < 0 \]
- Для интервала \( (2, +\infty) \): Пусть \( x = 3 \) \[ (3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 > 0 \]
Таким образом, \( (x - 2)(x + 2) > 0 \) выполняется в интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (2, +\infty) \).
В итоге, решение неравенства \( x^2 + 1 > 5 \) – это объединение интервалов:
\[ x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2 \]
Так, можно записать итоговое решение: \( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \).
