Основание прямой треугольной призмы служит рамой прямоугольник с катитам 6 и 8. Площадь её поверхности равна 288.Найдите объём призмы

Для нахождения объема прямой треугольной призмы, начнем с определения площади основания и высоты призмы.

Основание призмы – это прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь основания (S_основание) можно вычислить по формуле:

\[ S_основание = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \]

где \( a \) и \( b \) – катеты треугольника. Подставим значения:

\[ S_основание = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24. \]

Теперь у нас есть площадь основания, равная 24.

Площадь поверхности призмы (S_поверхности) равна 288. Площадь поверхности прямой призмы можно выразить как сумму площади боковых сторон и площади двух оснований:

\[ S_поверхности = 2 \cdot S_основание + S_боковые. \]

Площадь боковых сторон можно выразить как произведение периметра основания на высоту (h):

\[ S_боковые = P \cdot h, \]

где \( P \) – периметр основания. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон. Для прямоугольного треугольника можем найти гипотенузу с помощью теоремы Пифагора:

\[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. \]

Таким образом, периметр:

\[ P = 6 + 8 + 10 = 24. \]

Теперь подставим все известные значения в формулу для площади поверхности:

\[ 288 = 2 \cdot 24 + 24h. \]

Упростим это уравнение:

\[ 288 = 48 + 24h, \] \[ 288 - 48 = 24h, \] \[ 240 = 24h, \] \[ h = \frac{240}{24} = 10. \]

Теперь, когда мы знаем высоту призмы, можем найти объем (V):

\[ V = S_основание \cdot h. \]

Подставим известные значения:

\[ V = 24 \cdot 10 = 240. \]

Таким образом, объем прямой треугольной призмы равен 240.