1. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая ВM, перпендикулярная его плоскости. Какое из следующих утверждений неверно? а) MD перпендикуляра CD; б) MB перпендикуляра BC; в) MА перпендикуляра АД; г) MВ перпендикуляра AC 2. Точка М не лежит в плоскости четырехугольника ABCD, K – середина МА. Каково взаимное расположение прямых МВ и DK? а) Определить нельзя; б) скрещиваются; в) параллельны; г) пересекаются. 3. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно? а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α; б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α; в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α; г) прямая а имеет общую точку с плоскостью α . 4. Точка М не лежит в плоскости треугольника ABC, K – середина MB. Каково взаимное расположение прямых MA и CK? а) Определить нельзя; б) скрещиваются; в) параллельны; г) совпадают.

Решим каждую задачу последовательно.

1. Вопрос касается геометрии трехмерного пространства, где прямая \(BM\) перпендикулярна плоскости квадрата \(ABCD\). Проверим каждое утверждение:

• а) \(MD\) перпендикулярна \(CD\). Это верно, так как \(MD\) является высотой.
• б) \(MB\) перпендикулярна \(BC\). Это верно, так как \(BM\) перпендикулярна плоскости квадрата.
• в) \(MA\) перпендикулярна \(AD\). Это тоже верно, поскольку \(BM\) перпендикулярна плоскости квадрата и, следовательно, перпендикулярные к сторонам квадрата.
• г) \(MB\) перпендикулярна \(AC\). Это неверно, так как диагонали находятся под углом к вертикали.

Ответ: г) MВ перпендикуляра AC неверно.

2. Здесь говорится о точке \(M\), которая не лежит в плоскости четырехугольника \(ABCD\), и середине \(K\) отрезка \(MA\). Рассмотрим прямые \(MB\) и \(DK\):

• \(DK\) лежит в плоскости четырехугольника, а \(M\) вне этой плоскости. Соответственно, \(MB\) и \(DK\) не лежат в одной плоскости, следовательно, они должны быть скрещены.

Ответ: б) скрещиваются.

3. Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Рассмотрим варианты:

• а) Прямая \(a\) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\). Это верно, поскольку прямые в плоскости, параллельной плоскости, будут находиться на одной линии.
• б) Прямая \(a\) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости \(\alpha\). Это также верно.
• в) Прямая \(a\) скрещивается со всеми прямыми плоскости \(\alpha\). Это неверно, так как если прямая параллельна плоскости, она не может скрещиваться с прямыми в этой плоскости.
• г) Прямая \(a\) имеет общую точку с плоскостью \(\alpha\). Это неверно, потому что она параллельна.

Из этого следует, что утверждение а) верно.

Ответ: а) Прямая a параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α.

4. Точка \(M\) не лежит в плоскости треугольника \(ABC\) и \(K\) — середина \(MB\). Рассматриваем взаимное расположение прямых \(MA\) и \(CK\):

• Поскольку точка \(M\) не лежит в плоскости треугольника, то прямая \(MA\) выходит из плоскости, а прямая \(CK\) — это отрезок, вписанный в плоскость треугольника \(ABC\). Таким образом, обе прямые не находятся в одной плоскости и в общем случае не пересекаются.

Ответ: б) скрещиваются.