Дан треугольник MNK с координатами вершин M(-6;15); N(-12;7); K(10;3). вычислите периметр и площадь треугольника MNK

Чтобы найти периметр и площадь треугольника MNK с заданными координатами вершин M(-6; 15), N(-12; 7) и K(10; 3), сначала найдем длины его сторон.

1. Найдём длины сторон треугольника:

Длину стороны MN можно вычислить по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Для MN: \[ M(-6; 15), N(-12; 7) \] \[ MN = \sqrt{((-12) - (-6))^2 + (7 - 15)^2} \] \[ MN = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Для NK: \[ N(-12; 7), K(10; 3) \] \[ NK = \sqrt{(10 - (-12))^2 + (3 - 7)^2} \] \[ NK = \sqrt{(22)^2 + (-4)^2} = \sqrt{484 + 16} = \sqrt{500} = 10 \sqrt{5} \]

Для KM: \[ K(10; 3), M(-6; 15) \] \[ KM = \sqrt{((-6) - 10)^2 + (15 - 3)^2} \] \[ KM = \sqrt{(-16)^2 + (12)^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \]

2. Периметр треугольника MNK: Периметр \( P \) можно вычислить как сумму длин сторон: \[ P = MN + NK + KM \] \[ P = 10 + 10\sqrt{5} + 20 \] \[ P = 30 + 10\sqrt{5} \]

3. Площадь треугольника:

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \] где \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \) — координаты вершин треугольника.

Подставим в формулу координаты M, N, K: \[ S = \frac{1}{2} | -6(7 - 3) + (-12)(3 - 15) + 10(15 - 7) | \] \[ S = \frac{1}{2} | -6 \cdot 4 + (-12)(-12) + 10 \cdot 8 | \] \[ S = \frac{1}{2} | -24 + 144 + 80 | \] \[ S = \frac{1}{2} | 200 | = 100 \]

Таким образом, периметр треугольника MNK равен \( 30 + 10\sqrt{5} \), а площадь равна 100.