((x^2+1)*(x^2-144)):(x^2-4) ≤0 ответ запишите в виде числовых промежутков
Чтобы решить неравенство \((x^2 + 1)(x^2 - 144):(x^2 - 4) \leq 0\), начнем с анализа выражения.
Найдем нули функций:
- \(x^2 + 1 = 0\) не имеет действительных корней, так как \(x^2\) всегда неотрицательно.
- \(x^2 - 144 = 0\) даёт \(x^2 = 144\), следовательно, \(x = 12\) и \(x = -12\).
- \(x^2 - 4 = 0\) даёт \(x^2 = 4\), следовательно, \(x = 2\) и \(x = -2\).
Определяем знаки функции в интервалах: Изучим интервалы, которые определяются найденными значениями: \((-∞, -12)\), \((-12, -2)\), \((-2, 2)\), \((2, 12)\) и \((12, +∞)\).
Проверка знаков на интервалах: Для каждого интервала подставим любое число из него в выражение \((x^2 + 1)(x^2 - 144):(x^2 - 4)\):
Для \((-∞, -12)\): Например, \(x = -13\): \((169 + 1)(169 - 144):(169 - 4) = 170 \cdot 25 / 165\) (положительно)
Для \((-12, -2)\): Например, \(x = -10\): \((100 + 1)(100 - 144):(100 - 4) = 101 \cdot (-44) / 96\) (отрицательно)
Для \((-2, 2)\): Например, \(x = 0\): \((0 + 1)(0 - 144):(0 - 4) = 1 \cdot (-144) / (-4)\) (положительно)
Для \((2, 12)\): Например, \(x = 10\): \((100 + 1)(100 - 144):(100 - 4) = 101 \cdot (-44) / 96\) (отрицательно)
Для \((12, +∞)\): Например, \(x = 13\): \((169 + 1)(169 - 144):(169 - 4) = 170 \cdot 25 / 165\) (положительно)
Составление промежутков: Теперь учитываем, что неравенство \(\leq 0\) означает, что мы ищем интервалы, где функция меньше или равна нулю. Это происходит на интервалах \((-12, -2)\) и \((2, 12)\). Также необходимо проверить границы:
- При \(x = -12\) и \(x = 12\), функция равна нулю.
- При \(x = -2\) и \(x = 2\) делитель равен нулю, поэтому в этих точках функция не определена.
Запись конечного ответа в виде числовых промежутков: Получаем, что решение неравенства будет:
\[ (-12, -2) \cup (2, 12) \]
Это и есть ответ на поставленную задачу!
