Два друга в одной лодке проплыли по реке вдоль берега и вернулись по тому же самому маршруту по реке через 5 ч после момента отплы тия. Весь путь составил 10 км. Каждые 2 км…
Два друга в одной лодке проплыли по реке вдоль берега и вернулись по тому же самому маршруту по реке через 5 ч после момента отплы тия. Весь путь составил 10 км. Каждые 2 км против течения они про- плывали за то же время, что и каждые 3 км по течению. Найдите ско- рость течения.
Чтобы решить задачу, давайте обозначим некоторые величины:
- \( v \) — скорость друзей в стоячей воде.
- \( c \) — скорость течения реки.
Друзья проплыли 10 км, возвращаясь обратно, таким образом, их общий путь составил 10 км по течению и 10 км против течения. Время в пути составило 5 часов.
Таким образом, общее время пути можно выразить как:
\[ t_{\text{вперед}} + t_{\text{назад}} = 5 \text{ ч}. \]
Сначала проанализируем движение по течению. Друзья проплывают 3 км за то же время, что и 2 км против течения. Обозначим время \( t \) для 2 км против течения. Для скорости друзей по течению это будет:
\[ t_{\text{по течению}} = \frac{3}{v + c} \quad \text{и} \quad t_{\text{против течения}} = \frac{2}{v - c}. \]
Согласно условию задачи, имеем:
\[ t_{\text{по течению}} = t_{\text{против течения}}. \]
Следовательно, можем записать уравнение:
\[ \frac{3}{v + c} = \frac{2}{v - c}. \]
Перемножим обе стороны уравнения:
\[ 3(v - c) = 2(v + c). \]
Раскроем скобки:
\[ 3v - 3c = 2v + 2c. \]
Соберем все \( v \) с одной стороны, а \( c \) с другой:
\[ 3v - 2v = 2c + 3c \implies v = 5c. \]
Теперь подставим \( v = 5c \) в уравнение с временем. Сначала найдем время в пути по течению и против течения:
- Время по течению (10 км):
\[ t_{\text{по течению}} = \frac{10}{v + c} = \frac{10}{5c + c} = \frac{10}{6c} = \frac{5}{3c}. \]
- Время против течения (10 км):
\[ t_{\text{против течения}} = \frac{10}{v - c} = \frac{10}{5c - c} = \frac{10}{4c} = \frac{5}{2c}. \]
Теперь мы можем выразить общее время:
\[ t_{\text{вперед}} + t_{\text{назад}} = \frac{10}{6c} + \frac{10}{4c} = \frac{5}{3c} + \frac{5}{2c}. \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{5}{3c} = \frac{10}{6c}, \] \[ \frac{5}{2c} = \frac{15}{6c}. \]
Тогда:
\[ \frac{10}{6c} + \frac{15}{6c} = \frac{25}{6c}. \]
Теперь мы знаем, что это общее время равно 5:
\[ \frac{25}{6c} = 5. \]
Решим это уравнение:
\[ 25 = 30c \implies c = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}. \]
Таким образом, скорость течения реки составляет \( \frac{5}{6} \) км/ч.
