Составь и реши задачу по формуле пика
Формула Пика используется для нахождения площади простых многоугольников, которые могут быть построены на решетке точек. Сначала давайте составим задачу, а затем решим её.
Задача: На решетке расположены 8 точек, образующих многоугольник, который имеет 4 ребра. Точки имеют следующие координаты: \( (1,1), (1,4), (4,4), (4,1) \). Найдите площадь этого многоугольника с помощью формулы Пика.
Решение:
Определите количество внутренних точек (I): Рассмотрим многоугольник, образованный точками. Он представляет собой квадрат, и внутренние точки — это те точки, которые полностью окружены многоугольником и не лежат на его границе. Внутри квадрата \( (1,1) \) и \( (4,4) \) имеются следующие внутренние точки:
- \( (2,2) \)
- \( (2,3) \)
- \( (3,2) \)
- \( (3,3) \)
Таким образом, у нас есть 4 внутренних точки (I = 4).
Определите количество граничных точек (B): Граничные точки — это точки, которые лежат на краях многоугольника. Рассмотрим каждую из его сторон:
- Сторона от \( (1,1) \) до \( (1,4) \): 4 точки: \( (1,1), (1,2), (1,3), (1,4) \)
- Сторона от \( (1,4) \) до \( (4,4) \): 4 точки: \( (1,4), (2,4), (3,4), (4,4) \)
- Сторона от \( (4,4) \) до \( (4,1) \): 4 точки: \( (4,4), (4,3), (4,2), (4,1) \)
- Сторона от \( (4,1) \) до \( (1,1) \): 4 точки: \( (4,1), (3,1), (2,1), (1,1) \)
Однако, чтобы не считать одни и те же точки дважды, сложим все точки и вычтем пересечения: \( 4 + 4 + 4 + 4 - 4 = 12 \). Таким образом, у нас есть 12 граничных точек (B = 12).
Используйте формулу Пика: Формула Пика выглядит следующим образом: \[ A = I + \frac{B}{2} - 1 \] Подставим значения: \[ A = 4 + \frac{12}{2} - 1 \] \[ A = 4 + 6 - 1 = 9 \]
Ответ: Площадь многоугольника равна 9 квадратным единицам.
