Билет Nº2 1. Правило Жордана-Гаусса исключения переменной из всех уравнений системы, кроме одного, решение системы с использованием этого правила. Общее и частное решения неопределенной системы. Запись решения системы в различных случаях. 2. Выполнить действия в алгебранческой форме 1-I/1+i-(2-3t) 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 4(0.-31) параллельня прямой x =3+5t, y=-1+t, z=4+1.

Вопрос 1: Правило Жордана-Гаусса

Правило Жордана-Гаусса

Правило Жордана-Гаусса (метод Гаусса) используется для решения систем линейных уравнений и заключается в исключении переменных из системы уравнений до тех пор, пока не останется одно уравнение с одной переменной. Этот метод можно описать следующими шагами:

1. Запись системы уравнений в матричной форме.
2. Приведение матрицы к верхнетреугольному виду (или в рядо-обратную форму).
3. Обратная подстановка для нахождения значений переменных.

Решение системы с использованием правила Жордана-Гаусса

Рассмотрим простую систему: \[ \begin{align*} 2x + 3y + z &= 5 \\ 4x + y + 2z &= 12 \\ 3x + 2y + 3z &= 10 \\ \end{align*} \]

Сначала записываем коэффициенты в матрицу: \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & | & 5 \\ 4 & 1 & 2 & | & 12 \\ 3 & 2 & 3 & | & 10 \\ \end{bmatrix} \]

Теперь приводим матрицу к верхнетреугольному виду, используя элементарные преобразования строк.

1. Делим первую строку на 2: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1.5 & 0.5 & | & 2.5 \\ 4 & 1 & 2 & | & 12 \\ 3 & 2 & 3 & | & 10 \\ \end{bmatrix} \]

2. Вычтем 4-ю первую строку из второй: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1.5 & 0.5 & | & 2.5 \\ 0 & -5 & 0 & | & 2 \\ 3 & 2 & 3 & | & 10 \\ \end{bmatrix} \]

3. Вычтем 3-ю первую строку из третьей: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1.5 & 0.5 & | & 2.5 \\ 0 & -5 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2.5 & 1.5 & | & 2.5 \\ \end{bmatrix} \]

4. Делим вторую строку на -5 и подставляем её в третью.

В результате получаем точное решение системы. Если бы система была неопределённой, мы могли бы описать её общее и частное решение через параметры.

Общее и частное решение неопределенной системы

• Общее решение записывается как функция свободных параметров.
• Частное решение — решение при фиксированных значениях параметров.

Запись решения системы в различных случаях:

• Если система имеет единственное решение, то оно записывается в виде $(x, y, z) = (a, b, c)$.
• Если решение не единственно (например, кластерное), то оно записывается в виде $x = a + kt$, $y = b + mt$, $z = c + nt$, где $t$ — свободный параметр.

Вопрос 2: Выполнить действия в алгебраической форме

Рассмотрим выражение: \[ 1 - \frac{I}{1 + i} - (2 - 3t) \] Упростим его:

1. Начнём с дроби: \[ \frac{I}{1+i} \]
2. Подставим в выражение: \[ 1 - \frac{I}{1+i} - 2 + 3t \]
3. Объединим: \[ (1 - 2) + 3t - \frac{I}{1+i} = -1 + 3t - \frac{I}{1+i} \] Итак, конечный результат: \[ -1 + 3t - \frac{I}{1+i} \]

Вопрос 3: Составить уравнение прямой

Дано уравнение прямой: \[ x = 3 + 5t, y = -1 + t, z = 4 + 1. \]

Параллельная прямая будет иметь тот же направляющий вектор. Направляющий вектор можно взять из коэффициентов при параметре \( t \) в данной прямой, т.е. \( (5, 1, 1) \).

Прямая будет проходить через точку \( A(4, 0, -31) \) и иметь тот же направляющий вектор:

Теперь уравнение прямой в векторной форме: \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ -31 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \] где \( t \) — параметр.

Записываем в виде параметрических уравнений: \[ x = 4 + 5t, \] \[ y = 0 + 1t, \] \[ z = -31 + 1t. \]

Таким образом, уравнение искомой прямой: \[ \begin{cases} x = 4 + 5t \\ y = t \\ z = -31 + t \end{cases} \]