В 1 м^3 газа при давлении 1,2×10^5 Па содержится 2×10^25 молекул, средняя квадратичная скорость которых 600 м/с. Определите массу одной молекулы.
Для определения массы одной молекулы газа воспользуемся следующими шагами.
- Воспользуемся формулой для средней квадратичной скорости:
\[ v_{ср.кв.} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \]
где:
- \( v_{ср.кв.} \) — средняя квадратичная скорость молекул,
- \( k \) — постоянная Больцмана (\( k \approx 1,38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} \)),
- \( T \) — температура в кельвинах,
- \( m \) — масса одной молекулы.
Для начала, нам необходимо найти температуру газа \( T \). Используя уравнение состояния идеального газа, мы можем выразить температуру через давление и количество молекул:
\[ PV = nRT \]
где:
- \( P \) — давление,
- \( V \) — объем,
- \( n \) — количество молей,
- \( R \) — газовая постоянная (\( R \approx 8,31 \, \text{Дж/(моль·К)} \)),
- \( T \) — температура.
- Определим количество молей \( n \):
Количество молекул \( N \) связано с количеством молей через отношение:
\[ n = \frac{N}{N_A} \]
где \( N_A \) — число Авогадро (\( N_A \approx 6,022 \times 10^{23} \, \text{молекул/моль} \)).
Подставляя известные величины:
\[ n = \frac{2 \times 10^{25}}{6,022 \times 10^{23}} \approx 33,2 \, \text{моля} \]
- Теперь подставим значения в уравнение состояния идеального газа:
\[ 1,2 \times 10^5 \, \text{Па} \cdot 1 \, \text{м}^3 = 33,2 \, \text{моля} \cdot 8,31 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot T \]
Решим это уравнение для \( T \):
\[ T = \frac{1,2 \times 10^5}{33,2 \cdot 8,31} \approx 144,3 \, \text{К} \]
- Теперь подставим \( T \) в формулу для средней квадратичной скорости и решим для массы одной молекулы \( m \):
\[ 600 = \sqrt{\frac{3 \cdot (1,38 \times 10^{-23}) \cdot 144,3}{m}} \]
Квадратим обе стороны:
\[ 360000 = \frac{3 \cdot (1,38 \times 10^{-23}) \cdot 144,3}{m} \]
Решим это уравнение для \( m \):
\[ m = \frac{3 \cdot (1,38 \times 10^{-23}) \cdot 144,3}{360000} \approx 6,02 \times 10^{-26} \, \text{кг} \]
Таким образом, масса одной молекулы газа составляет примерно \( 6,02 \times 10^{-26} \) кг.
