На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = 2 , DC = 13 Площадь треугольника АВС равна 75. Найдите площадь треугольника ABD.

Чтобы найти площадь треугольника ABD, воспользуемся свойством, что площади треугольников, у которых базой является одна и та же сторона, пропорциональны длинам этих оснований.

Из условия видно, что отрезок AC состоит из двух частей: AD и DC. Длина отрезка AC будет равна:

\[ AC = AD + DC = 2 + 13 = 15. \]

Теперь мы можем использовать проекцию, чтобы понять, какие отношения будут между площадями треугольников ADB и ABC.

Площадь треугольника ABC равна 75, и мы будем находить отношение площадей ADB и ABC, которое связано с длинами отрезков AD и AC:

\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC}. \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{S_{ABD}}{75} = \frac{2}{15}. \]

Теперь решим это уравнение для \( S_{ABD} \):

\[ S_{ABD} = 75 \cdot \frac{2}{15}. \]

Упростим это выражение:

\[ S_{ABD} = 75 \cdot \frac{2}{15} = 75 \cdot \frac{2}{15} = 5 \cdot 2 = 10. \]

Таким образом, площадь треугольника ABD равна 10.