Боковое ребро DC треугольной пирамиды DABC перпендикулярно основанию, DC = 6, AB = 8, двугранный угол при ребре равен 45°. Найдите объём пирамиды.
Чтобы найти объём треугольной пирамиды DABC, воспользуемся следующей формулой для объёма пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h \]
где \( S_{основания} \) — площадь основания пирамиды (треугольника ABC), а \( h \) — высота пирамиды, которая равна длине бокового ребра DC.
Из условия задачи известно, что \( DC = 6 \) и угол между боковым ребром DC и плоскостью основания ABC равен 45°.
Найдём высоту треугольника ABC: Боковое ребро DC перпендикулярно основанию, и угол при ребре 45° позволяет нам использовать тригонометрию. В треугольнике DCA, где угол DCA равен 45°, у нас есть:
\[ \tan(45°) = \frac{h_{ABC}}{DC} \]
Поскольку \( \tan(45°) = 1 \), то:
\[ h_{ABC} = DC = 6 \]
Находим площадь основания ABC: Поскольку \( AB = 8 \), можно предположить, что треугольник ABC является прямоугольным (это может сделать задачу проще, хотя бы для анализа). Для определения площади S треугольника ABC, нужно знать его высоту и основание.
Высота из точки C на сторону AB можно найти, если использовать формулу:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{ABC} \]
Подставляем значения:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \]
Теперь находим объём пирамиды: Подставляем значение площади основания и высоты в формулу объёма:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 \]
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 144 = 48 \]
Таким образом, объём пирамиды DABC равен \( \boxed{48} \).
