Боковое ребро DC треугольной пирамиды DABC перпендикулярно основанию, DC = 6, AB = 8, двугранный угол при ребре равен 45°. Найдите объём пирамиды.
Чтобы найти объём треугольной пирамиды DABC, мы можем воспользоваться формулой для объёма пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h, \]
где \( S_{осн} \) — площадь основания (треугольника ABC), а \( h \) — высота пирамиды, которая равна длине бокового ребра DC, так как оно перпендикулярно основанию.
Из условия задачи известно, что \( h = DC = 6 \).
Далее нужно найти площадь основания \( S_{осн} = S_{ABC} \). Для этого используем сторону \( AB = 8 \).
Двугранный угол при ребре DC равен 45°, что позволяет найти отношение высоты треугольника ABC и стороны AB. Обозначим высоту, опущенную из вершины C на основание AB, как \( h_C \).
Двугранный угол можно трактовать как угол между плоскостями, которые образуют ребра, и для треугольника ABC это будет связано с его высотой. Мы можем использовать тригонометрические соотношения.
Из условия, если обозначить \( h_C \) как высоту треугольника ABC, то в нашем случае:
\[ \tan(45^\circ) = \frac{h_C}{\frac{1}{2}AB} \Rightarrow h_C = \frac{1}{2} AB. \]
Подставим значение \( AB = 8 \):
\[ h_C = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4. \]
Теперь найдём площадь основания:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16. \]
- Теперь, имея \( S_{осн} = 16 \) и \( h = 6 \), мы можем найти объём пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6 = \frac{96}{3} = 32. \]
Таким образом, объём пирамиды DABC равен 32.
