Моторная лодка прошла против течения реки 135 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше, найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 12 к час.
Для решения этой задачи давайте обозначим скорость течения реки как \( v \) км/ч. Скорость лодки в неподвижной воде составляет 12 км/ч.
Определим скорости:
- При движении против течения скорость лодки составит \( 12 - v \) км/ч.
- При движении с течением скорость лодки составит \( 12 + v \) км/ч.
Расстояние и время:
- Расстояние, пройденное лодкой против течения, равно 135 км.
- Время, затраченное на путь против течения, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{135}{12 - v} \]
- Время, затраченное на обратный путь с течением, выражается как: \[ t_2 = \frac{135}{12 + v} \]
Условие задачи: По условию, обратный путь занял на 6 часов меньше, чем путь против течения, то есть: \[ t_1 - t_2 = 6 \]
Подставим выражения для времени: \[ \frac{135}{12 - v} - \frac{135}{12 + v} = 6 \]
Упростите уравнение: Умножим обе стороны на \((12 - v)(12 + v)\): \[ 135(12 + v) - 135(12 - v) = 6(12 - v)(12 + v) \] После упрощения получаем: \[ 135 \cdot 2v = 6(144 - v^2) \] \[ 270v = 864 - 6v^2 \] Приведем все к одной стороне: \[ 6v^2 + 270v - 864 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 270^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-864) = 72900 + 20736 = 93636 \] Находим корень дискриминанта: \[ \sqrt{D} = 306 \]
Находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-270 \pm 306}{12} \] Рассмотрим два возможных корня:
- \( v_1 = \frac{36}{12} = 3 \)
- \( v_2 = \frac{-576}{12} = -48 \) (отрицательное значение не имеет смысла в контексте задачи)
Таким образом, скорость течения реки составляет \( 3 \) км/ч.
