2. Даны векторы а = 3i - 2j и b = 2i - 3j. Разложить вектор с = -2i + 8j векторам а и b. по

Чтобы разложить вектор \( \mathbf{c} = -2\mathbf{i} + 8\mathbf{j} \) по векторам \( \mathbf{a} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} \) и \( \mathbf{b} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} \), мы можем использовать метод подбора коэффициентов. Мы ищем такие скаляры \( x \) и \( y \), что:

\[ \mathbf{c} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b} \]

Подставим векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

\[ -2\mathbf{i} + 8\mathbf{j} = x(3\mathbf{i} - 2\mathbf{j}) + y(2\mathbf{i} - 3\mathbf{j}) \]

Раскроем скобки:

\[ -2\mathbf{i} + 8\mathbf{j} = (3x + 2y)\mathbf{i} + (-2x - 3y)\mathbf{j} \]

Теперь можем записать систему уравнений по компонентам:

1. \( 3x + 2y = -2 \) (уравнение по компоненте \( \mathbf{i} \))
2. \( -2x - 3y = 8 \) (уравнение по компоненте \( \mathbf{j} \))

Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выразим \( y \):

\[ 2y = -2 - 3x \implies y = -1 - \frac{3}{2}x \]

Подставим \( y \) во второе уравнение:

\[ -2x - 3\left(-1 - \frac{3}{2}x\right) = 8 \]

Раскроем скобки:

\[ -2x + 3 + \frac{9}{2}x = 8 \]

Приведем к общему знаменателю и решим:

\[ \left(-2 + \frac{9}{2}\right)x + 3 = 8 \implies \frac{5}{2}x + 3 = 8 \]

Вычтем 3 из обеих сторон:

\[ \frac{5}{2}x = 5 \implies x = 2 \]

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = 2 \) в выражение для \( y \):

\[ y = -1 - \frac{3}{2} \cdot 2 = -1 - 3 = -4 \]

Таким образом, мы получили:

\[ x = 2, \quad y = -4 \]

Теперь можем записать разложение вектора \( \mathbf{c} \):

\[ \mathbf{c} = 2\mathbf{a} - 4\mathbf{b} \]

Это и есть искомое разложение вектора \( \mathbf{c} \) по векторам \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).