Вычислите площадь трапеции АВBCD C основаниями AD и ВС, если AD = 34 см, ВС = 18 см, угол A = 45°, угол D = 90° .

Чтобы вычислить площадь трапеции АВCD с основаниями AD и BC, воспользуемся формулой для площади трапеции:

\[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h, \]

где \( S \) — площадь трапеции, \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции.

В данном случае:

• Основание \( AD = 34 \) см,
• Основание \( BC = 18 \) см.

Чтобы найти высоту \( h \), можем воспользоваться свойствами углов и треугольников, образованных в трапеции. Угол \( A = 45° \) и угол \( D = 90° \) показывают, что в точке D высота трапеции будет равна отрезку от D до линии BC.

Рассмотрим треугольник ABD, который является прямоугольным с углом A, равным 45°. В таком треугольнике катеты равны.

Поскольку угол D равен 90°, то отрезок DB можно выразить через основание AD:

\[ DB = AD - AB. \]

Используя тригонометрию и известный угол A, найдём \( h \):

Под углом 45 градусом катет \( h \) равен \( DB \). Обозначим длину отрезка AB как \( x \):

Согласно свойствам прямоугольного треугольника:

\[ h = DB = AB \cdot \tan(45°) = AB. \]

Теперь выразим AB. Мы знаем, что длина BC равна \( 18 \) см и это верхнее основание. Следовательно:

\[ AB + h = BC, \] или \[ h + h = 18 \] (так как \( AB = h \), при угле 45°).

Итак, \( 2h = 18 \), откуда \( h = 9 \) см.

Теперь, подставим значения в формулу для площади:

\[ S = \frac{(34 + 18)}{2} \cdot 9. \]

Сначала считаем сумму оснований:

\[ 34 + 18 = 52. \]

Теперь делим на 2:

\[ \frac{52}{2} = 26. \]

Умножаем на высоту:

\[ S = 26 \cdot 9 = 234 \, \text{см}^2. \]

Таким образом, площадь трапеции АВCD составляет \( 234 \, \text{см}^2. \)