25^x-6×5^x+5=0
Чтобы решить уравнение \(25^x - 6 \times 5^x + 5 = 0\), начнем с преобразования первых двух слагаемых. Мы знаем, что \(25\) можно представить как \(5^2\), поэтому \(25^x\) можно написать как \((5^2)^x = 5^{2x}\).
Теперь уравнение становится:
\[5^{2x} - 6 \times 5^x + 5 = 0.\]
Для удобства введем замену, обозначив \(y = 5^x\). Тогда \(5^{2x} = y^2\), и наше уравнение примет следующий вид:
\[y^2 - 6y + 5 = 0.\]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac,\]
где \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 5\).
Подставим значения:
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16.\]
Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня. Теперь найдем сами корни:
\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}.\]
Таким образом, мы получаем два корня:
- \(y_1 = \frac{10}{2} = 5\),
- \(y_2 = \frac{2}{2} = 1\).
Теперь вспомним, что \(y = 5^x\). Подставим найденные значения обратно:
Для \(y_1 = 5\): \[5^x = 5 \implies x = 1.\]
Для \(y_2 = 1\): \[5^x = 1 \implies x = 0 \text{ (так как \(5^0 = 1\))}.\]
В итоге у нас есть два решения уравнения:
\[x = 1 \quad \text{и} \quad x = 0.\]
Таким образом, полный ответ: \(x = 1\) или \(x = 0\).
