Туристы приплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 7 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 5 км/ч?
Для решения этой задачи давайте обозначим:
- \( v = 5 \) км/ч — собственная скорость лодки,
- \( u = 3 \) км/ч — скорость течения реки,
- \( d \) — расстояние от лагеря до места, куда приплыли туристы.
Сначала определим скорость лодки относительно берега. Когда лодка идет вверх по течению, её скорость будет равна \( v - u = 5 - 3 = 2 \) км/ч. Когда туристы возвращаются обратно, скорость будет \( v + u = 5 + 3 = 8 \) км/ч.
Пусть время, которое туристы потратили на путь вверх по течению, составляет \( t_1 \) часов, а время на путь обратно — \( t_2 \) часов.
Согласно условиям задачи, они провели 3 часа на берегу, и общее время в пути составляет 7 часов. Таким образом, мы можем записать уравнение:
\[ t_1 + 3 + t_2 = 7 \implies t_1 + t_2 = 4 \]
Теперь можем выразить \( t_1 \) и \( t_2 \) через расстояние \( d \):
\[ t_1 = \frac{d}{2} \]
\[ t_2 = \frac{d}{8} \]
Подставим эти значения в уравнение:
\[ \frac{d}{2} + \frac{d}{8} = 4 \]
Для удобства приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 8 — это 8. Тогда выражение станет:
\[ \frac{4d}{8} + \frac{d}{8} = 4 \]
Сложим две дроби:
\[ \frac{5d}{8} = 4 \]
Теперь умножим обе стороны на 8:
\[ 5d = 32 \]
И разделим на 5:
\[ d = \frac{32}{5} = 6.4 \text{ км} \]
Таким образом, туристы отплыли от лагеря на расстояние 6.4 км.
