Решите неравенство x2+3x≤10 x2>-4x+5

Для решения системы неравенств \( x^2 + 3x \leq 10 \) и \( x^2 > -4x + 5 \) будем действовать поэтапно.

1. Решение первого неравенства \( x^2 + 3x \leq 10 \)

Первым делом, преобразуем неравенство:

\[ x^2 + 3x - 10 \leq 0 \]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]

Корни будут:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2} = -5 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \]

Теперь определим промежутки, в которых неравенство выполняется. Корни делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty, -5) \), \( (-5, 2) \) и \( (2, +\infty) \).

Чтобы определить, в каком из интервалов \( x^2 + 3x - 10 \leq 0 \), проверим знак выражения в каждом интервале:

• Для интервала \( (-\infty, -5) \) (например, \( x = -6 \)): \[ (-6)^2 + 3(-6) - 10 = 36 - 18 - 10 > 0 \]

• Для интервала \( (-5, 2) \) (например, \( x = 0 \)): \[ (0)^2 + 3(0) - 10 = -10 < 0 \]

• Для интервала \( (2, +\infty) \) (например, \( x = 3 \)): \[ (3)^2 + 3(3) - 10 = 9 + 9 - 10 > 0 \]

Таким образом, неравенство выполняется на интервале \( [-5, 2] \).

2. Решение второго неравенства \( x^2 > -4x + 5 \)

Прежде всего, преобразуем неравенство:

\[ x^2 + 4x - 5 > 0 \]

Найдем корни уравнения \( x^2 + 4x - 5 = 0 \):

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-4 - \sqrt{D}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \] \[ x_2 = \frac{-4 + \sqrt{D}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \]

Теперь определим знаки:

• Для интервала \( (-\infty, -5) \) (например, \( x = -6 \)): \[ (-6)^2 + 4(-6) - 5 = 36 - 24 - 5 > 0 \]

• Для интервала \( (-5, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \[ (0)^2 + 4(0) - 5 = -5 < 0 \]

• Для интервала \( (1, +\infty) \) (например, \( x = 2 \)): \[ (2)^2 + 4(2) - 5 = 4 + 8 - 5 > 0 \]

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -5) \) и \( (1, +\infty) \).

3. Объединение решений

Теперь соединим результаты:

• Первое неравенство: \( [-5, 2] \)
• Второе неравенство: \( (-\infty, -5) \) и \( (1, +\infty) \)

Общие значения, удовлетворяющие обоим неравенствам, будут:

\[ [-5, -5] \cup (1, 2] \]

Таким образом, готовый ответ для решения системы неравенств:

\[ x \in [-5, -5] \cup (1, 2] \]

Если у вас есть вопросы или требуется помощь в других темах — не стесняйтесь спрашивать!