производная х^2-4/√х

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x}} \), мы можем использовать правило дроби и правила производной.

1. Запишем функцию в более удобной форме: \[ f(x) = (x^2 - 4) \cdot x^{-1/2} \]

2. Применим правило произведения. Производная функции \( f(x) = u \cdot v \) равна: \[ f'(x) = u'v + uv' \] где \( u = x^2 - 4 \) и \( v = x^{-1/2} \).

3. Вычислим производные \( u' \) и \( v' \):

   • \( u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4) = 2x \)
   • \( v' = \frac{d}{dx}(x^{-1/2}) = -\frac{1}{2} x^{-3/2} \)

4. Теперь подставим \( u, v, u' \), и \( v' \) в формулу производной: \[ f'(x) = (2x) \cdot (x^{-1/2}) + (x^2 - 4) \cdot (-\frac{1}{2} x^{-3/2}) \]

5. Упростим каждое из слагаемых:

   • Первое слагаемое: \( 2x \cdot x^{-1/2} = 2x^{1/2} \).
   • Второе слагаемое: \[ (x^2 - 4) \cdot (-\frac{1}{2} x^{-3/2}) = -\frac{1}{2} \cdot (x^2 - 4) \cdot x^{-3/2} = -\frac{1}{2} (x^{-1/2} - 4x^{-3/2}) = -\frac{1}{2} x^{-1/2} + 2 x^{-5/2} \]

6. Объединим все слагаемые: \[ f'(x) = 2x^{1/2} - \frac{1}{2} x^{-1/2} + 2x^{-5/2} \]

7. Соберем все в одном выражении: \[ f'(x) = 2\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x^{5/2}} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x}} \) равна: \[ f'(x) = 2\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x^{5/2}} \]

Если у вас остались вопросы или нужны дополнительные пояснения, feel free to ask!