(x^2+1) *(x^2-144) :(x^2-4) ≤0
Давайте решим неравенство \((x^2+1) \cdot (x^2-144) : (x^2-4) \leq 0\).
Для начала упростим выражение. Мы можем записать его в более понятной форме:
\[ \frac{(x^2+1)(x^2-144)}{x^2-4} \leq 0 \]
Теперь, чтобы решить это неравенство, нужно найти нули числителя и знаменателя.
Шаг 1: Находим нули
Числитель: \((x^2 + 1)(x^2 - 144)\)
- \(x^2 + 1 = 0\) не имеет действительных корней, так как \(x^2 = -1\) не имеет решений среди действительных чисел.
- \(x^2 - 144 = 0\) приводит к \(x^2 = 144\), откуда \(x = 12\) и \(x = -12\).
Знаменатель: \(x^2 - 4\)
- \(x^2 - 4 = 0\) дает \(x^2 = 4\), то есть \(x = 2\) и \(x = -2\).
Теперь у нас есть важные точки: \(x = 12\), \(x = -12\), \(x = 2\), и \(x = -2\).
Шаг 2: Определяем знаки на интервалах
Мы разделим ось \(x\) на интервалы, используя найденные точки:
- \((- \infty, -12)\)
- \([-12, -2)\)
- \([-2, 2)\)
- \([2, 12)\)
- \([12, +\infty)\)
Теперь выберем тестовые точки для каждого из этих интервалов и проверим знак выражения.
Интервал \((- \infty, -12)\): Например, \(x = -13\): \[ \frac{(169+1)(169-144)}{169-4} > 0 \]
Интервал \([-12, -2)\): Например, \(x = -6\): \[ \frac{(36+1)(36-144)}{36-4} < 0 \]
Интервал \([-2, 2)\): Например, \(x = 0\): \[ \frac{(0+1)(0-144)}{0-4} < 0 \]
Интервал \([2, 12)\): Например, \(x = 10\): \[ \frac{(100+1)(100-144)}{100-4} < 0 \]
Интервал \([12, +\infty)\): Например, \(x = 13\): \[ \frac{(169+1)(169-144)}{169-4} > 0 \]
Шаг 3: Объединяем результаты
Мы получили:
- Знак выражения положителен на интервалах \((- \infty, -12)\) и \([12, +\infty)\).
- Знак выражения отрицателен на интервалах \([-12, -2)\), \([-2, 2)\) и \([2, 12)\).
Шаг 4: Учитываем точки
Так как знаменатель \(x^2 - 4\) не может равняться нулю, точки \(x = -2\) и \(x = 2\) не входят в решение. Однако точки \(x = -12\) и \(x = 12\) включаются, поскольку числитель равен нулю.
Итоговый ответ
Таким образом, неравенство \((x^2 + 1) \cdot (x^2 - 144) : (x^2 - 4) \leq 0\) решается следующим образом:
\[ [-12, -2) \cup [-2, 2) \cup [2, 12] \]
Выражение меньше или равно нулю на интервалах \([-12, -2)\), \([-2, 2)\) и \([2, 12]\).
