Решите неравенство -x²+4x-3<0

Чтобы решить неравенство \(-x^2 + 4x - 3 < 0\), сначала преобразуем его в более удобный вид. Умножим обе стороны неравенства на \(-1\) (при этом знак неравенства поменяется на противоположный):

\[ x^2 - 4x + 3 > 0 \]

Теперь находим корни квадратного уравнения \(x^2 - 4x + 3 = 0\) с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).

Считаем дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2} \]

Таким образом, получаем:

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

Корни уравнения — \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 1\). Теперь определим промежутки, на которых функция \(x^2 - 4x + 3\) положительна.

Пробуем выбрать значения из трех промежутков: \((-\infty, 1)\), \((1, 3)\) и \((3, +\infty)\).

1. Для \(x = 0\) (в промежутке \((-\infty, 1)\)): \[ 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 > 0 \]

2. Для \(x = 2\) (в промежутке \((1, 3)\)): \[ 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \]

3. Для \(x = 4\) (в промежутке \((3, +\infty)\)): \[ 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \]

Итак, функция положительна на интервалах \((-\infty, 1)\) и \((3, +\infty)\).

Таким образом, решение неравенства \(-x^2 + 4x - 3 < 0\) — это промежуток:

\[ x \in (1, 3) \]

То есть, все значения \(x\) от 1 до 3, не включая 1 и 3.