Через точку О ‒ середину гипотенузы прямоугольного треугольника ACB проведён к его плоскости перпендикуляр KO. Найдите длину KB, если AB=8 см, KO=3 см
Для решения задачи начнем с того, что в прямоугольном треугольнике \( ACB \) мы имеем:
- \( AB = 8 \) см (катет)
- \( O \) — середина гипотенузы \( AB \)
Поскольку точка \( O \) является серединой гипотенузы, можно найти ее координаты, если мы расположим треугольник \( ACB \) в координатной системе.
Обозначим координаты точки \( A(0, 0) \), точки \( B(8, 0) \), и точки \( C(8, h) \) (где \( h \) — длина другого катета). Тогда координаты точки \( O \) будут:
\[ O\left( \frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (4, 0) \]
Теперь, поскольку \( KO \) перпендикулярен плоскости треугольника (плоскости \( xoy \)), то длина \( KO \) равна \( 3 \) см, а значит, проекция точки \( K \) на плоскость будет находиться в точке \( O \), и её координаты будут:
\[ K(4, 0, 3) \]
Теперь нам нужно найти длину отрезка \( KB \). Для этого найдем расстояние между точками \( K(4, 0, 3) \) и \( B(8, 0, 0) \) в трехмерном пространстве по формуле расстояния:
\[ KB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
где \( (x_1, y_1, z_1) = (4, 0, 3) \) и \( (x_2, y_2, z_2) = (8, 0, 0) \).
Подставив значения, получим:
\[ KB = \sqrt{(8 - 4)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 0 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]
Таким образом, длина отрезка \( KB \) равна \( 5 \) см.
