log_0,1 (x+4)+ log_0, (x-5) ≤ -
Чтобы решить неравенство \( \log_0.1 (x+4) + \log_0.1 (x-5) \leq -1 \), начнем с применения свойств логарифмов.
Используя правило, что \( \log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (b \cdot c) \), мы преобразуем неравенство:
\[ \log_0.1 \left((x+4)(x-5)\right) \leq -1 \]
Переписываем неравенство в показательной форме. Помним, что логарифм с основанием меньше 1 является убывающей функцией, поэтому знак неравенства изменится:
\[ (x+4)(x-5) \geq 0.1^{-1} \]
Поскольку \( 0.1^{-1} = 10 \), получаем:
\[ (x+4)(x-5) \geq 10 \]
Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду:
\[ x^2 - x - 20 \geq 10 \]
\[ x^2 - x - 30 \geq 0 \]
Далее решим квадратное неравенство. Сначала находим корни уравнения \( x^2 - x - 30 = 0 \) по формуле корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{1 \pm 11}{2} \]
Получаем корни:
\[ x_1 = 6, \quad x_2 = -5 \]
Теперь определим интервалы. Неравенство \( (x - 6)(x + 5) \geq 0 \) будет выполняться в следующих интервалах:
- \( x \leq -5 \)
- \( x \geq 6 \)
Учитывая ограничения логарифмов, где \( x+4 > 0 \) и \( x-5 > 0 \), мы дополнительно проверяем:
- \( x + 4 > 0 \) даёт \( x > -4 \)
- \( x - 5 > 0 \) даёт \( x > 5 \)
Таким образом, окончательный ответ с учётом всех условий:
\[ x \geq 6 \]
Таким образом, решение неравенства:
\[ x \in [6, +\infty) \]
