Реши уравнение: 5 x 2 − 3 2 3 x + 2 3 = 0 5x 2 −3 3 2 x+ 3 2 =0 .

Чтобы решить уравнение \( 5x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{2}{3} = 0 \), воспользуемся формулой квадратного уравнения, которая выглядит так:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 5 \), \( b = -\frac{3}{2} \) и \( c = \frac{2}{3} \).

1. Сначала найдем дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \cdot 5 \cdot \frac{2}{3} \]

Считаем:

\[ D = \frac{9}{4} - \frac{40}{3} \]

Чтобы вычесть, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для 4 и 3 является 12:

\[ D = \frac{9 \cdot 3}{12} - \frac{40 \cdot 4}{12} = \frac{27}{12} - \frac{160}{12} = \frac{27 - 160}{12} = \frac{-133}{12} \]

Так как дискриминант \( D < 0 \), это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Но у нас есть комплексные корни.

2. Для нахождения корней уравнения используем формулу с комплексными числами:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Теперь подставим значение дискриминанта:

\[ x = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{-\frac{133}{12}}}{10} \]

Мы можем выразить корень из отрицательного числа с мнимой единицей \( i \):

\[ \sqrt{-\frac{133}{12}} = i \sqrt{\frac{133}{12}} = i \frac{\sqrt{133}}{\sqrt{12}} = i \frac{\sqrt{133}}{2\sqrt{3}} = i \frac{\sqrt{399}}{6} \]

Таким образом, подставим это в уравнение:

\[ x = \frac{\frac{3}{2} \pm i \frac{\sqrt{399}}{6}}{10} \]

Сократим:

\[ x = \frac{3}{20} \pm i \frac{\sqrt{399}}{60} \]

Итак, комплексные корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{3}{20} + i \frac{\sqrt{399}}{60}, \quad x_2 = \frac{3}{20} - i \frac{\sqrt{399}}{60} \]

Таким образом, у нас есть два комплексных корня уравнения. Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!