x² + y² = 25 x - y = 1

Давайте решим эту систему уравнений:

1. Первое уравнение: \( x^2 + y^2 = 25 \)
2. Второе уравнение: \( x - y = 1 \)

Сначала выразим \( y \) из второго уравнения:

\[ y = x - 1 \]

Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 + (x - 1)^2 = 25 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 25 \]

Сложим все слагаемые:

\[ 2x^2 - 2x + 1 = 25 \]

Теперь уменьшаем уравнение на 25:

\[ 2x^2 - 2x + 1 - 25 = 0 \]

Это упрощается до:

\[ 2x^2 - 2x - 24 = 0 \]

Можно разделить всё уравнение на 2:

\[ x^2 - x - 12 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -12 \). Теперь подставим значения:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \]

Это упрощается до:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \]

\[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \]

Теперь найдем два значения для \( x \):

1. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь подставим каждое значение \( x \) обратно в выражение для \( y \):

Для \( x = 4 \):

\[ y = 4 - 1 = 3 \]

Для \( x = -3 \):

\[ y = -3 - 1 = -4 \]

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \( (4, 3) \)
2. \( (-3, -4) \)

Это значит, что система уравнений имеет два решения: \( (x, y) = (4, 3) \) и \( (x, y) = (-3, -4) \).