решите систему неравенства x^2-6x+8<=0 3x-8>=0
Давайте решим систему неравенств:
Первое неравенство: \[ x^2 - 6x + 8 \leq 0 \]
Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 6x + 8 = 0\). Для этого можно использовать формулу квadratного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \] То есть, получаем: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]
Теперь у нас есть корни \(x = 2\) и \(x = 4\). Квадратный многочлен \(x^2 - 6x + 8\) будет принимать значения меньше или равные нулю на отрезке между корнями. Теперь определим знак многочлена на интервалах:
- Для \(x < 2\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 - 6(0) + 8 = 8 > 0\)
- Для \(2 < x < 4\) (например, \(x = 3\)): \(3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 < 0\)
- Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \(5^2 - 6(5) + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 > 0\)
Таким образом, \(x^2 - 6x + 8 \leq 0\) выполняется на интервале: \[ 2 \leq x \leq 4 \]
Второе неравенство: \[ 3x - 8 \geq 0 \]
Решим его: \[ 3x \geq 8 \implies x \geq \frac{8}{3} \approx 2.67 \]
Теперь объединим результаты обоих неравенств. Первое неравенство даёт интервал \(2 \leq x \leq 4\), а второе неравенство требует, чтобы \(x \geq \frac{8}{3}\).
Таким образом, пересечение двух интервалов будет: \[ \frac{8}{3} \leq x \leq 4 \]
Ответ: \(\frac{8}{3} \leq x \leq 4\).
