7. (2 балла) Даны векторы а(-6,0,8), в(-3,2,-6). Найдите косинус угла между векторами.
Чтобы найти косинус угла между векторами \(\mathbf{a}(-6, 0, 8)\) и \(\mathbf{b}(-3, 2, -6)\), воспользуемся формулой:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины (модулі) векторов.
- Найдем скалярное произведение \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-6)(-3) + (0)(2) + (8)(-6) = 18 + 0 - 48 = -30 \]
- Найдем длины векторов \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\):
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 0 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 \]
- Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
\[ \cos(\theta) = \frac{-30}{10 \cdot 7} = \frac{-30}{70} = -\frac{3}{7} \]
Таким образом, косинус угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен \(-\frac{3}{7}\).
