найдите множество решений 7x²<=4x

Чтобы решить неравенство \( 7x^2 \leq 4x \), начнем с преобразования его в стандартную форму:

1. Переносим все члены в одну сторону неравенства: \[ 7x^2 - 4x \leq 0 \]

2. Для решения неравенства, сначала найдем корни уравнения \( 7x^2 - 4x = 0 \) путем факторизации: \[ x(7x - 4) = 0 \] Отсюда находим два корня: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad 7x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{7} \]

3. Теперь нам нужно исследовать промежутки, на которых неравенство выполняется. Корни делят числовую прямую на три интервала:

   • \( (-\infty, 0) \)
   • \( (0, \frac{4}{7}) \)
   • \( (\frac{4}{7}, +\infty) \)

4. Проверим знак выражения \( 7x^2 - 4x \) на каждом интервале:

   • Для интервала \( (-\infty, 0) \) (например, x = -1): \[ 7(-1)^2 - 4(-1) = 7 + 4 = 11 \quad (\text{положительно}) \]
   • Для интервала \( (0, \frac{4}{7}) \) (например, x = 0.5): \[ 7(0.5)^2 - 4(0.5) = 7 \cdot 0.25 - 2 = 1.75 - 2 = -0.25 \quad (\text{отрицательно}) \]
   • Для интервала \( (\frac{4}{7}, +\infty) \) (например, x = 1): \[ 7(1)^2 - 4(1) = 7 - 4 = 3 \quad (\text{положительно}) \]

5. Резюмируя, неравенство \( 7x^2 - 4x \leq 0 \) выполняется на интервале \( [0, \frac{4}{7}] \).

Итак, множество решений неравенства \( 7x^2 \leq 4x \) — это: \[ x \in [0, \frac{4}{7}] \]