(x+2/x²-2x)-(x/x-2)=3/x
Давайте решим уравнение \(\frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{x}{x-2} = \frac{3}{x}\) шаг за шагом.
Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби \(x^2 - 2x\) можно разложить:
\[ x^2 - 2x = x(x - 2) \]
Таким образом, общий знаменатель для обеих дробей будет \(x(x-2)\).
Приводим первую дробь к общему знаменателю:
\[ \frac{x+2}{x(x-2)} \]
Для второй дроби нужно домножить числитель и знаменатель на \(x\):
\[ \frac{x}{x-2} = \frac{x^2}{x(x-2)} \]
Теперь у нас есть общее уравнение:
\[ \frac{x+2 - x^2}{x(x-2)} = \frac{3}{x} \]
Умножим обе стороны на \(x(x-2)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[ x + 2 - x^2 = 3(x - 2) \]
Раскроем скобки на правой стороне:
\[ x + 2 - x^2 = 3x - 6 \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ -x^2 + x + 2 - 3x + 6 = 0 \]
Упрощая, получаем:
\[ -x^2 - 2x + 8 = 0 \]
Умножим всё на \(-1\):
\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -8\):
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Находим корни уравнения:
Корни находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Корни уравнения: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -4\).
Однако нужно проверить, что \(x\) не равен 2, так как это делает знаменатель равным нулю. Таким образом, итоговый корень уравнения:
\[ x = -4 \]
Таким образом, решение уравнения — \(x = -4\). Если у вас есть дополнительные вопросы по этому уроку или другой теме, не стесняйтесь задавать!
