решите неравенство x²+7x-30>=0
Чтобы решить неравенство \(x^2 + 7x - 30 \geq 0\), мы сначала найдем корни соответствующего равенства \(x^2 + 7x - 30 = 0\) с помощью дискриминанта.
Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 \]
Корни уравнения находим по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -10\). Мы можем разбить числовую прямую на интервалы, чтобы определить, где неравенство выполняется:
- Интервалы, которые нужно проверить:
- \( (-\infty, -10) \)
- \( (-10, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Теперь проверим знак выражения \(x^2 + 7x - 30\) на каждом из этих интервалов.
Для интервала \( (-\infty, -10) \) (например, \(x = -11\)): \[ (-11)^2 + 7(-11) - 30 = 121 - 77 - 30 = 14 > 0 \]
Для интервала \( (-10, 3) \) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 + 7(0) - 30 = -30 < 0 \]
Для интервала \( (3, +\infty) \) (например, \(x = 4\)): \[ 4^2 + 7(4) - 30 = 16 + 28 - 30 = 14 > 0 \]
- Теперь подводим итоги. Мы установили, что:
- На интервале \( (-\infty, -10) \) и \( (3, +\infty) \) выражение положительно.
- На интервале \( (-10, 3) \) выражение отрицательно.
Неравенство \(x^2 + 7x - 30 \geq 0\) выполняется, когда \(x\) принимает значения из интервалов: \[ (-\infty, -10] \cup [3, +\infty) \]
Таким образом, окончательный ответ: \(x \in (-\infty, -10] \cup [3, +\infty)\).
