в олимпиаде участвовало 180 человек. из них 65 сдали норматив по бегу, 71 - по плаванию, 27 - по метанию, 21 - по бегу и по плаванию, 12 - по плаванию и по метанию, 8 - по бегу и…
В олимпиаде участвовало 180 человек. из них 65 сдали норматив по бегу, 71 - по плаванию, 27 - по метанию, 21 - по бегу и по плаванию, 12 - по плаванию и по метанию, 8 - по бегу и по метанию, а 6 человек сдали все три норматива. сколько участников олимпиады не сдали ни один из трёх нормативов? 2. оля собирается 30 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) заниматься спортом , каждый третий - читать книгу, а каждый пятый день - решать задачи по химии. (в первый день оля сделала и первое, и второе, и третье и очень устал а.) сколько будет у оли "приятных" дней, когда нужно заниматься спортом, но не нужно ни читать книгу, ни решать задачи по химии?
Чтобы решить первую задачу, применим принцип включения-исключения.
Дано:
- Всего участников: \( n = 180 \)
- Сдали норматив по бегу: \( n_A = 65 \)
- Сдали норматив по плаванию: \( n_B = 71 \)
- Сдали норматив по метанию: \( n_C = 27 \)
- Сдали норматив по бегу и плаванию: \( n_{A \cap B} = 21 \)
- Сдали норматив по плаванию и метанию: \( n_{B \cap C} = 12 \)
- Сдали норматив по бегу и метанию: \( n_{A \cap C} = 8 \)
- Сдали все три норматива: \( n_{A \cap B \cap C} = 6 \)
Теперь найдем количество участников, которые сдали хотя бы один норматив.
По формуле включения-исключения:
\[ n_{A \cup B \cup C} = n_A + n_B + n_C - n_{A \cap B} - n_{A \cap C} - n_{B \cap C} + n_{A \cap B \cap C} \]
Подставим известные значения:
\[ n_{A \cup B \cup C} = 65 + 71 + 27 - 21 - 8 - 12 + 6 \]
Теперь считаем:
\[ n_{A \cup B \cup C} = 65 + 71 + 27 - 21 - 8 - 12 + 6 = 128 \]
Теперь найдем количество участников, которые не сдали ни один из трёх нормативов:
\[ n_{\text{не сдали}} = n - n_{A \cup B \cup C} = 180 - 128 = 52 \]
Таким образом, 52 участника олимпиады не сдали ни один из трёх нормативов.
Теперь перейдем ко второй задаче.
Оля собирается проводить 30 дней каникул, занимаясь спортом каждый второй день, читая книгу каждый третий день и решая задачи по химии каждый пятый день.
Мы знаем, что она занимается спортом в дни: 1, 3, 5, 7, ..., 29 (все нечётные числа). Количество таких дней: \( \frac{30}{2} = 15 \).
Оля читает книги в дни: 1, 4, 7, 10, ..., 30. Количество таких дней: \( \frac{30}{3} = 10 \).
Она решает задачи по химии в дни: 1, 6, 11, 16, 21, 26. Количество таких дней: \( \frac{30}{5} = 6 \).
Теперь необходимо найти "приятные" дни, когда Оля занимается спортом, но не читает и не решает задачи.
Для этого определим дни, когда происходит совпадение:
- Про спорт: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29
- Про чтение: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28
- Про задачи: 1, 6, 11, 16, 21, 26
Теперь найдем дни, в которые Оля занимается спортом и при этом не читает книги и не решает задачи:
- Чтение и спорт: 1, 7, 13, 19, 25 (5 дней)
- Задачи и спорт: 1, 11, 21 (3 дня)
Теперь исключим дублирующиеся дни из списка спортивных:
Спортивные дни: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 Среди них вычтем 1, 7, 11, 13, 19, 21, 25, что дает нам:
Спортивные "приятные" дни: 3, 5, 9, 15, 17, 23, 27, 29.
Их всего 8.
Таким образом, у Оли будет 8 "приятных" дней, когда она будет заниматься спортом, не читая и не решая задачи по химии.
