Решите дробно-рациональное уравнение: (x - 3)/(x - 5) + 1/x = (x + 5)/(x ^ 2 - 5x)
Для решения дробно-рационального уравнения
\[ \frac{x - 3}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{x^2 - 5x} \]
начнем с приведения правой части уравнения к более простому виду. Обратите внимание, что \(x^2 - 5x\) можно разложить:
\[ x^2 - 5x = x(x - 5) \]
Теперь уравнение можно переписать в следующем виде:
\[ \frac{x - 3}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{x(x - 5)} \]
Следующим шагом будем приводить обе части уравнения к общему знаменателю. Общим знаменателем будут \(x(x - 5)\). Умножим каждую часть уравнения на этот знаменатель:
\[ (x - 3)x + (x - 5) = (x + 5) \]
Теперь раскроем скобки:
\[ x^2 - 3x + x - 5 = x + 5 \]
Упростим уравнение:
\[ x^2 - 2x - 5 = x + 5 \]
Теперь перенесем всё в одну сторону:
\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]
Так как \(D > 0\), у уравнения есть два различных корня:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = -2 \]
Теперь проверим, не равны ли найденные корни запрещённым значениям (то есть значениям, при которых дроби не определены).
Для \(x = 5\): Обратите внимание, что при этом значение \(x - 5 = 0\), что делает дробь не определённой.
Для \(x = -2\): Это значение допустимо, так как дроби будут определены.
Таким образом, решение данного дробно-рационального уравнения:
\[ x = -2 \]
