найдите область значения функции f(x) =√16 -x2 + x+1/3-x
Чтобы найти область значений функции \( f(x) = \sqrt{16 - x^2} + \frac{x + 1}{3 - x} \), начнём с анализа каждого из её компонентов.
Область определения \( \sqrt{16 - x^2} \):
- Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 16 - x^2 \geq 0. \]
- Это означает, что \( -4 \leq x \leq 4 \).
Область определения \( \frac{x + 1}{3 - x} \):
- Знаменатель не должен равняться нулю: \[ 3 - x \neq 0 \Longrightarrow x \neq 3. \]
- Таким образом, \( x \) может принимать любые значения в интервале \( -4 \leq x \leq 4 \), за исключением \( x = 3 \).
Теперь определим область определения функции \( f(x) \):
- Объединяя условия, получаем: \( x \) принадлежит интервалу \( [-4, 4] \), но без точки \( x = 3 \).
Теперь вычислим возможные значения функции. Для этого проанализируем крайние точки и поведение функции на интервале:
Вычисление значений на конечных границах:
- Если \( x = -4 \): \[ f(-4) = \sqrt{16 - (-4)^2} + \frac{-4 + 1}{3 - (-4)} = \sqrt{0} + \frac{-3}{7} = -\frac{3}{7}. \]
- Если \( x = 4 \): \[ f(4) = \sqrt{16 - 4^2} + \frac{4 + 1}{3 - 4} = \sqrt{0} + \frac{5}{-1} = -5. \]
Поведение функции в окрестностях точки \( x = 3 \):
- При приближении к \( x = 3 \) с левой стороны \( f(3^-) \): \[ f(3) = \sqrt{16 - 3^2} + \frac{3 + 1}{0^-} \rightarrow - \infty \quad (\text{поскольку } \frac{4}{0^-} \rightarrow -\infty). \]
- При приближении к \( x = 3 \) с правой стороны \( f(3^+) \): \[ f(3) = \sqrt{16 - 3^2} + \frac{3 + 1}{0^+} \rightarrow + \infty \quad (\text{поскольку } \frac{4}{0^+} \rightarrow +\infty). \]
Таким образом, функция \( f(x) \) уходит в бесконечность при \( x \) приближающемся к \( 3 \) и имеет значения от \( -5 \) до \( -\frac{3}{7} \) на остальных участках.
Таким образом, область значений функции: \[ (-\infty, -5] \cup \left(-\frac{3}{7}, +\infty\right). \] Эти промежутки описывают, какие значения мы можем получить при различных \( x \) из области определения функции.
