Cos2x+√3sin(x+π)-1=0

Чтобы решить уравнение \( \cos(2x) + \sqrt{3} \sin(x + \pi) - 1 = 0 \), начнем с упрощения выражения.

Заметим, что \( \sin(x + \pi) = -\sin(x) \) по свойствам тригонометрических функций. Подставляем это в уравнение:

\[ \cos(2x) - \sqrt{3} \sin(x) - 1 = 0. \]

Теперь у нас есть:

\[ \cos(2x) - \sqrt{3} \sin(x) = 1. \]

Воспользуемся формулой для \( \cos(2x) \):

\[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1. \]

Подставим её в уравнение:

\[ 2\cos^2(x) - 1 - \sqrt{3} \sin(x) = 1. \]

Упрощаем уравнение:

\[ 2\cos^2(x) - \sqrt{3} \sin(x) - 2 = 0. \]

Зная, что \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \), можем выразить его в терминах \( \sin(x) \):

\[ 2(1 - \sin^2(x)) - \sqrt{3} \sin(x) - 2 = 0. \]

Преобразуем:

\[ 2 - 2\sin^2(x) - \sqrt{3} \sin(x) - 2 = 0, \] \[ -2\sin^2(x) - \sqrt{3} \sin(x) = 0. \]

Теперь упростим:

\[ 2\sin^2(x) + \sqrt{3} \sin(x) = 0. \]

Можно вынести \( \sin(x) \):

\[ \sin(x)(2\sin(x) + \sqrt{3}) = 0. \]

Таким образом, у нас есть два случая:

1. \( \sin(x) = 0 \).
2. \( 2\sin(x) + \sqrt{3} = 0 \).

Для \( \sin(x) = 0 \):

\[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. \]

Для второго случая:

\[ 2\sin(x) = -\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Значения \( x \) для этого также известны:

\[ x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Таким образом, окончательные решения:

1. \( x = n\pi \) для любого целого \( n \).
2. \( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \) и \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) для любого целого \( k \).

Если у вас есть вопросы по решению, не стесняйтесь их задавать!