1. На ребрах AS и DS пирамиды SABCD отметили точки Ри Qи провели плоскости BPQC и ASC. Ответ: a) a) [1 балл] На сколько частей эти плоскости делят всю пирамиду? 6) [1 балл]…
1. На ребрах AS и DS пирамиды SABCD отметили точки Ри Qи провели плоскости BPQC и ASC. Ответ: a) a) [1 балл] На сколько частей эти плоскости делят всю пирамиду? 6) [1 балл] Сколько будет пирамид среди полученных частей? Ответ: 2. [за каждый правильный ответ - 1 балл, за неправильный - снимается 1 балл] Про каждое из следующих утверждений определите, верно оно или нет: a) Если две прямые лежат в двух параллельных плоскостях, то они параллель- ны друг другу. 6) Если сечение тетраэдра является параллелограммом, то оно параллельно двум ребрам этого тетраэдра. 6) в) Если из трех прямых через любые две можно провести плоскость, то все три прямые лежат в одной плоскости. r) Все диагонали куба пересекаются в одной точке. 3) В тетраэдре ABCD построить точку пересечения приной Тетраэдр ABCD, точка АВ, точка CD, точка точка Q BC, Опишите алгоритм соответствующего построения. Построить: Алгоритмы построение: "Пересечение прямой МКи плоскости (APQ). 4. [3 балла] На ребрах куба ABCDA1B1C1D1 отметили точки Р. Q и R Постройте сечениеОт Опишите алгоритм соответствующего построения. Запишите в ответе искомое со- отношение, не приводя доказательства. куба плоскостью (PQR). В каком отношении она делит ребро A:D? Куб ABCDA1B1C1D1, точка Q - середина C1D1, точка P E BB1, точка REAA1, причем BP: BiP= 1:2, AR:A;R= 3:1. Алгорити построение: Построить: сечение куба плоскостью (PQR). Найти отношение, в котором оно делит A1D1 5. Часть 2. Высота и медиана, проведенные к гипотенузе прямоугольного треугольника, Ответ: равны соответственно 12 и 15. a) [1 балл] Найдите площадь треугольника. 6) (3 балла] Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника.
- Рассмотрим первую задачу о пирамиде SABCD и плоскостях BPQC и ASC.
a) Чтобы определить, на сколько частей эти плоскости делят всю пирамиду, нужно учесть, что плоскость BPQC проходит через точки на ребрах AS и DS и разделяет пирамиду на две части. Плоскость ASC также пересекает эти части. В итоге, плоскости будут делить пирамиду на 6 частей.
b) Теперь, сколько будет пирамид среди полученных частей? Обычно, при пересечении плоскостей в пространстве, в случае пирамиды, мы можем получить до 4 пирамид. Таким образом, среди полученных частей будет 4 пирамиды.
- Теперь перейдём к проверке утверждений.
a) Верно. Если две прямые лежат в двух параллельных плоскостях, то они параллельны друг другу.
b) Верно. Если сечение тетраэдра является параллелограммом, то оно действительно параллельно двум ребрам этого тетраэдра.
c) Неверно. Если из трех прямых через любые две можно провести плоскость, это не гарантирует, что все три прямые лежат в одной плоскости.
d) Неверно. Все диагонали куба не пересекаются в одной точке, они пересекаются в различных точках.
- Построение точки пересечения прямой MK с плоскостью (APQ) в тетраэдре ABCD:
Алгоритм построения:
- Найдите точку M, которая лежит на ребре AB.
- Проведите прямую MK, которая проходит через точки M и K.
- Определите плоскость APQ, которая проходит через точки A, P и Q.
- Найдите точку пересечения прямой MK с плоскостью APQ. Это и будет искомая точка.
- Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 и определим сечение плоскостью (PQR).
Алгоритм построения:
- Определите точку P на ребре BB1.
- Определите точку Q как середину ребра C1D1.
- Определите точку R на ребре AA1 так, чтобы соблюдалось условие AR:A1R = 3:1.
- Постройте плоскость, проходящую через точки P, Q и R.
Для нахождения отношения, в котором плоскость (PQR) делит ребро A1D1, нужно проанализировать полученные отношения. С учётом данных, плоскость делит ребро A1D1 в отношении 3:1.
- Теперь переходим к проекции высоты и медианы в прямоугольном треугольнике.
a) Высота h равна 12, а медиана m равна 15. Площадь треугольника можно найти с помощью следующей формулы:
\( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \)
Если обозначить основание за "a", то у нас есть уравнение:
\( S = \frac{1}{2} \times a \times 12 \)
Считаем, что медиана является половиной основания, то есть:
\( m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 - b^2} = 15 \)
Требуется решить систему уравнений для нахождения площади.
b) Для нахождения длины биссектрисы прямого угла \( L \) используется формула:
\[ L = \frac{c}{2} \cdot \sqrt{2 - \frac{a^2 + b^2}{c^2}} \]
где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты. Найдите длины катетов с помощью теоремы Пифагора и подставьте их в формулу.
Таким образом, успехов вам в учебе и при подготовке к экзаменам!
