даны 3 вершины A(1;0;2) B(2;1;0) C(1;2;0) параллелограмма ABC Вычислите длины диагоналей AC и BD

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма ABC с вершинами A(1, 0, 2), B(2, 1, 0) и C(1, 2, 0), для начала найдем координаты вершины D.

В параллелограмме диагонали пересекаются в серединах. Мы можем найти координаты точки D с помощью формулы: D = A + C - B.

1. Найдем координаты D: D = A + C - B = (1, 0, 2) + (1, 2, 0) - (2, 1, 0) = (1 + 1 - 2, 0 + 2 - 1, 2 + 0 - 0) = (0, 1, 2).

Теперь у нас есть все четыре вершины параллелограмма: A(1, 0, 2), B(2, 1, 0), C(1, 2, 0) и D(0, 1, 2).

2. Теперь вычислим длины диагоналей AC и BD. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Длина диагонали AC:

• A(1, 0, 2) и C(1, 2, 0): \[ AC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Длина диагонали BD:

• B(2, 1, 0) и D(0, 1, 2): \[ BD = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Таким образом, длины диагоналей AC и BD равны \(2\sqrt{2}\).