вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^, y=x+3
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 \) и \( y = x + 3 \), нужно сначала найти точки пересечения этих графиков.
Найдём точки пересечения, приравняв уравнения: \[ x^2 = x + 3. \] Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 - x - 3 = 0. \] Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13. \] Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}. \]
Таким образом, точки пересечения: \[ x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}. \]
Теперь найдем площадь между кривыми. Площадь \( S \) можно вычислить по формуле: \[ S = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) \, dx, \] где \( f(x) = x + 3 \) и \( g(x) = x^2 \).
Подставим значения и вычислим интеграл: \[ S = \int_{x_1}^{x_2} \left((x + 3) - (x^2)\right) dx = \int_{x_1}^{x_2} (-x^2 + x + 3) \, dx. \]
Интегрируем функцию: \[ \int (-x^2 + x + 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x + C. \]
Теперь подставляем границы интегрирования: \[ S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x\right]_{x_1}^{x_2}. \]
Вычисляем подстановки \( x_1 \) и \( x_2 \), и затем находим разность значений, чтобы получить площадь.
В результате вы получите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Если у вас есть сложности или нужны дополнительные шаги, не стесняйтесь спрашивать!
