Даны вершины треугольника A(8;0;6) B(8;-4;6) C(6;-2;5) Найдите косинус ABC

Чтобы найти косинус угла ABC в треугольнике с заданными вершинами A(8;0;6), B(8;-4;6) и C(6;-2;5), нужно сначала найти векторы AB и AC, а затем использовать скалярное произведение векторов для нахождения косинуса угла.

1. Найдем вектор AB: \( \overrightarrow{AB} = B - A = (8, -4, 6) - (8, 0, 6) = (0, -4, 0) \)

2. Найдем вектор AC: \( \overrightarrow{AC} = C - A = (6, -2, 5) - (8, 0, 6) = (-2, -2, -1) \)

3. Найдем скалярное произведение векторов AB и AC: \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (0) \cdot (-2) + (-4) \cdot (-2) + (0) \cdot (-1) = 0 + 8 + 0 = 8 \)

4. Найдём длины векторов AB и AC:

   • Длина \( \overrightarrow{AB} \): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \]
   • Длина \( \overrightarrow{AC} \): \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]

5. Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла ABC: \[ \cos(\angle ABC) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \] Подставим найденные значения: \[ \cos(\angle ABC) = \frac{8}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]

Таким образом, косинус угла ABC равен \( \frac{2}{3} \).