lg(x^2-6x+9)=lg3+lg(x+3)

Решим уравнение \( \lg(x^2 - 6x + 9) = \lg 3 + \lg (x + 3) \).

Сначала воспользуемся свойством логарифмов: \( \lg a + \lg b = \lg(ab) \). Это позволяет переписать правую часть уравнения:

\[ \lg(x^2 - 6x + 9) = \lg(3(x + 3)) \]

Теперь, поскольку логарифмы равны, то можно избавиться от них, приравняв аргументы:

\[ x^2 - 6x + 9 = 3(x + 3) \]

Раскроем скобки на правой стороне:

\[ x^2 - 6x + 9 = 3x + 9 \]

Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

\[ x^2 - 6x - 3x + 9 - 9 = 0 \] \[ x^2 - 9x = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \( x \):

\[ x(x - 9) = 0 \]

Таким образом, у нас два решения:

1. \( x = 0 \)
2. \( x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9 \)

Теперь необходимо проверить каждое решение на допустимость. Логарифм определен только для положительных аргументов:

1. Для \( x = 0 \): \[ x^2 - 6x + 9 = 0^2 - 6 \cdot 0 + 9 = 9 > 0 \quad \text{и} \quad x + 3 = 0 + 3 = 3 > 0 \] Условие выполняется, но мы еще проверим при \( x = 0 \) общее уравнение.

2. Для \( x = 9 \): \[ x^2 - 6x + 9 = 9^2 - 6 \cdot 9 + 9 = 81 - 54 + 9 = 36 > 0 \quad \text{и} \quad x + 3 = 9 + 3 = 12 > 0 \] Условие также выполняется.

Теперь проверим \( x = 0 \) в исходном уравнении: \[ \lg(0^2 - 6 \cdot 0 + 9) = \lg 3 + \lg(0 + 3) \] \[ \lg 9 = \lg(3 \cdot 3) = \lg 9 \] Это верно.

Для \( x = 9 \): \[ \lg(9^2 - 6 \cdot 9 + 9) = \lg 3 + \lg(9 + 3) \] \[ \lg 36 = \lg(3 \cdot 12) = \lg 36 \] Тоже верно.

Таким образом, оба решения допустимы. Ответ:

\( x = 0 \) и \( x = 9 \).