вычислите объем тела образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями а) у=3-х, х=0, у=0 б) у=х+1, у=0, х=0
Для решения задачи о вычислении объема тел, образованных вращением фигур вокруг оси OX, мы будем использовать метод цилиндрических оболочек или интегрирование.
a) Фигура, ограниченная линиями у = 3 - x, x = 0, у = 0
Определим границы фигуры:
- Линия у = 3 - x пересекает ось абсцисс (у = 0) при x = 3.
- Таким образом, данная область лежит в пределах 0 ≤ x ≤ 3.
Форма вращения:
- Фигура будет вращаться вокруг оси OX.
Формула для объема: Объем V можно найти с помощью интеграла: \[ V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx \] где f(x) = 3 - x, a = 0, b = 3.
Вычисление объема: \[ V = \pi \int_{0}^{3} (3 - x)^2 \, dx \]
Раскроем квадрат: \[ (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2 \]
Таким образом, \[ V = \pi \int_{0}^{3} (9 - 6x + x^2) \, dx \]
Вычисляем интеграл: \[ = \pi \left[ 9x - 3x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} \]
Подставляем границы: \[ = \pi \left( 9 \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 + \frac{3^3}{3} - (0) \right) \] \[ = \pi \left( 27 - 27 + 9 \right) = \pi \cdot 9 = 9\pi \]
Таким образом, объем тела, образованного вращением, равен \(9\pi\).
б) Фигура, ограниченная линиями у = x + 1, у = 0, x = 0
Определим границы фигуры:
- Линия у = x + 1 пересекает ось абсцисс (у = 0) при x = -1, однако в нашей области x ограничено нулем, поэтому берем x = 0.
- Область будет ограничена от x=0 до x=2 (так как при x=2, у=3).
Форма вращения:
- Фигура будет вращаться вокруг оси OX.
Формула для объема: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x + 1)^2 \, dx \]
Вычисление объема: Раскроем квадрат: \[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
Таким образом, \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Вычисляем интеграл: \[ = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{0}^{2} \]
Подставляем границы: \[ = \pi \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 + 2 - (0) \right) \] \[ = \pi \left( \frac{8}{3} + 4 + 2 \right) = \pi \left( \frac{8 + 12 + 6}{3} \right) = \pi \cdot \frac{26}{3} \]
Таким образом, объем тела, образованного вращением, равен \(\frac{26\pi}{3}\).
Результаты:
- Для a) объем равен \(9\pi\).
- Для б) объем равен \(\frac{26\pi}{3}\).
