Logx(,x+3/x-1)>1

Чтобы решить неравенство \( \log_x\left(\frac{x+3}{x-1}\right) > 1 \), начнем с преобразования неравенства в более удобный вид.

1. Сначала воспользуемся определением логарифма. Неравенство \( \log_x\left(\frac{x+3}{x-1}\right) > 1 \) можно переписать как:

   \[ \frac{x+3}{x-1} > x^1 \]

   То есть:

   \[ \frac{x+3}{x-1} > x \]

2. Перемножим обе стороны на \( x-1 \) (при условии, что \( x \neq 1 \) и следует учитывать знак \( x-1 \) в зависимости от его значения):

   \[ x + 3 > x(x - 1) \]

   Тогда:

   \[ x + 3 > x^2 - x \]

3. Переносим всё в одну сторону:

   \[ 0 > x^2 - 2x - 3 \]

   А это означает:

   \[ x^2 - 2x - 3 < 0 \]

4. Теперь найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) с помощью дисперсии:

   \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

   Корни будут:

   \[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]

5. Теперь мы знаем, что парабола \( x^2 - 2x - 3 \) открыта вверх и пересекает ось абсцисс в точках \( -1 \) и \( 3 \). Мы ищем промежутки, где этот многочлен меньше нуля:

   • Интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3) \), \( (3, +\infty) \)
   • Знак выражения \( x^2 - 2x - 3 \) положителен за пределами интервалов \( (-1, 3) \) и отрицателен в самом интервале.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале \( (-1, 3) \).

Ограничения: Также не забудьте, что мы не можем использовать основание логарифма меньше или равно 0, а также не равное 1. Следовательно:

• \( x > 0 \)
• \( x \neq 1 \)

Следовательно, остаются следующие возможные значения для \( x \):

Итак, окончательный ответ:

\[ x \in (0, 1) \cup (1, 3) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения по этому материалу, не стесняйтесь спрашивать!