Найдите промежутки знакопостоянства функции у = 2x - х?.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции \( y = 2x - x^2 \), сначала найдем производную функции и определим корни, при которых функция меняет знак.
Найдём производную: \[ y' = 2 - 2x. \] Приравняем производную к нулю: \[ 2 - 2x = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1. \]
Теперь исследуем знаки производной на интервалах, определяемых корнем \( x = 1 \). Разделим числовую ось на два интервала:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Выберем тестовые точки для исследования знака производной:
Для интервала \( (-\infty, 1) \) возьмем \( x = 0 \): \[ y'(0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2 \quad (\text{положительно}). \]
Для интервала \( (1, +\infty) \) возьмем \( x = 2 \): \[ y'(2) = 2 - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = -2 \quad (\text{отрицательно}). \]
Таким образом, функция возрастает на интервале \( (-\infty, 1) \) и убывает на интервале \( (1, +\infty) \).
Теперь можем найти промежутки знакопостоянства исходной функции \( y = 2x - x^2 \). Вернемся к самой функции и определим, где она принимает положительные значения и где отрицательные.
Найдем корни функции, приравняв \( y \) к нулю: \[ 2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0. \] Этот равенство имеет два корня: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2. \]
Теперь исследуем знаки функции на интервалах:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Выберем тестовые точки:
Для интервала \( (-\infty, 0) \) возьмем \( x = -1 \): \[ y(-1) = 2(-1) - (-1)^2 = -2 - 1 = -3 \quad (\text{отрицательно}). \]
Для интервала \( (0, 2) \) возьмем \( x = 1 \): \[ y(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1 \quad (\text{положительно}). \]
Для интервала \( (2, +\infty) \) возьмем \( x = 3 \): \[ y(3) = 2(3) - (3)^2 = 6 - 9 = -3 \quad (\text{отрицательно}). \]
Таким образом, функция \( y = 2x - x^2 \) положительна на интервале \( (0, 2) \) и отрицательна на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \).
Итог:
Функция \( y = 2x - x^2 \) положительна на промежутке \((0, 2)\) и отрицательна на промежутках \((-∞, 0)\) и \((2, +∞)\).
