Даны два числовых набора: 1. 24 24 , 15 15 , 6 6 , 19 19 ; 2. 10 10 , 6 6 , 9 9 , 11 11 . Вычисли дисперсии этих наборов и определи, дисперсия какого набора больше.
Чтобы вычислить дисперсию для обоих числовых наборов, следуем определённой формуле. Дисперсия (\(D\)) рассчитывается по следующей формуле:
\[ D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]
где:
- \(n\) — количество элементов в наборе,
- \(x_i\) — каждый элемент набора,
- \(\bar{x}\) — среднее значение набора.
Начнем с первого числового набора: \(24, 24, 15, 15, 6, 6, 19, 19\).
Вычислим среднее значение (\(\bar{x}\)): \[ \bar{x} = \frac{24 + 24 + 15 + 15 + 6 + 6 + 19 + 19}{8} = \frac{128}{8} = 16 \]
Вычислим сумму квадратов отклонений: \[ (24 - 16)^2 = 64, \] \[ (24 - 16)^2 = 64, \] \[ (15 - 16)^2 = 1, \] \[ (15 - 16)^2 = 1, \] \[ (6 - 16)^2 = 100, \] \[ (6 - 16)^2 = 100, \] \[ (19 - 16)^2 = 9, \] \[ (19 - 16)^2 = 9. \] Теперь суммируем все отклонения: \[ 64 + 64 + 1 + 1 + 100 + 100 + 9 + 9 = 348. \]
Вычислим дисперсию первого набора: \[ D_1 = \frac{348}{8} = 43.5. \]
Теперь перейдем ко второму числовому набору: \(10, 10, 6, 6, 9, 9, 11, 11\).
Вычислим среднее значение (\(\bar{x}\)): \[ \bar{x} = \frac{10 + 10 + 6 + 6 + 9 + 9 + 11 + 11}{8} = \frac{76}{8} = 9.5. \]
Вычислим сумму квадратов отклонений: \[ (10 - 9.5)^2 = 0.25, \] \[ (10 - 9.5)^2 = 0.25, \] \[ (6 - 9.5)^2 = 12.25, \] \[ (6 - 9.5)^2 = 12.25, \] \[ (9 - 9.5)^2 = 0.25, \] \[ (9 - 9.5)^2 = 0.25, \] \[ (11 - 9.5)^2 = 2.25, \] \[ (11 - 9.5)^2 = 2.25. \] Теперь суммируем все отклонения: \[ 0.25 + 0.25 + 12.25 + 12.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 2.25 = 30. \]
Вычислим дисперсию второго набора: \[ D_2 = \frac{30}{8} = 3.75. \]
Теперь мы можем сравнить дисперсии двух наборов:
- Дисперсия первого набора: \(D_1 = 43.5\)
- Дисперсия второго набора: \(D_2 = 3.75\)
Таким образом, дисперсия первого набора больше!
