На доске написаны числа 1,2,3,......,19,20.разрешается ли стереть любые два числа a и b и вместо них написать число а+b-1. какое число останется на доске после 19 таки операций

Для решения этой задачи рассмотрим процесс, который мы выполняем.

Начначально на доске написаны числа от 1 до 20. Если мы стерем два числа \( a \) и \( b \) и запишем на их место число \( a + b - 1 \), то мы фактически уменьшаем общее количество чисел на доске на 1. Начальное количество чисел — 20. После 19 таких операций количество оставшихся чисел будет равно \( 20 - 19 = 1 \).

Теперь давайте определим, какое будет конечное значение этого числа.

Рассмотрим сумму всех чисел, которые были на доске. Сначала на доске находятся числа от 1 до 20. Сумма этих чисел вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{n(n + 1)}{2} \]

где \( n \) — это количество чисел. В нашем случае \( n = 20 \):

\[ S = \frac{20(20 + 1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 210 \]

Теперь, когда мы выполняем операцию замены \( a \) и \( b \) на \( a + b - 1 \), сумма уменьшится на 1, поскольку:

\[ a + b - (a + b - 1) = 1 \]

Каждый раз, когда мы производим операцию, мы тем самым уменьшаем сумму на 1. Мы сделаем это 19 раз, следовательно, сумма уменьшится на 19:

\[ 210 - 19 = 191 \]

Таким образом, после 19 операций на доске останется одно число, которое будет равно 191.

Ответ: на доске останется число 191.