для функции f (x) найдите её первообразную, проходящую через точку М, если f (x) = sin x + cos5x M (-П/2; 1)

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \sin x + \cos(5x) \), необходимо вычислить её интеграл.

1. Найдём интеграл функции \( f(x) \): \[ F(x) = \int (\sin x + \cos(5x)) \, dx \]

   Интегрируем каждую часть по отдельности:

   • Интеграл от \( \sin x \) равен \( -\cos x \).
   • Интеграл от \( \cos(5x) \) равен \( \frac{1}{5} \sin(5x) \).

   Следовательно: \[ F(x) = -\cos x + \frac{1}{5} \sin(5x) + C \] где \( C \) — произвольная константа.

2. Теперь используем точку \( M\left(-\frac{\pi}{2}, 1\right) \) для нахождения константы \( C \). Подставим \( x = -\frac{\pi}{2} \) в функцию \( F(x) \) и приравняем к 1: \[ F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{5} \sin\left(5 \cdot -\frac{\pi}{2}\right) + C \]

   Зная, что \( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 \) и \( \sin\left(-\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \), подставим: \[ F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 + \frac{1}{5}(-1) + C = -\frac{1}{5} + C \]

   Приравняв к 1, получаем: \[ -\frac{1}{5} + C = 1 \] Следовательно: \[ C = 1 + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5} \]

3. Итак, первообразная функции, проходящая через точку \( M \), имеет вид: \[ F(x) = -\cos x + \frac{1}{5} \sin(5x) + \frac{6}{5} \]

Таким образом, мы нашли требуемую первообразную функции \( f(x) \). Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!