log2 (x-5) + log2 (x+3)=3
Чтобы решить уравнение \( \log_2 (x-5) + \log_2 (x+3) = 3 \), можно воспользоваться свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. Это позволяет нам переписать уравнение следующим образом:
\[ \log_2 \left( (x-5)(x+3) \right) = 3 \]
Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны уравнения в степень 2 (так как основание логарифма равно 2):
\[ (x-5)(x+3) = 2^3 \]
Это упрощается до:
\[ (x-5)(x+3) = 8 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ x^2 + 3x - 5x - 15 = 8 \]
Упрощая, получаем:
\[ x^2 - 2x - 15 = 8 \]
Переносим 8 на левую сторону:
\[ x^2 - 2x - 23 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 4 + 92 = 96 \]
Теперь найдем корни уравнения, используя формулу корней:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{2 \pm \sqrt{96}}}{2} \]
Упрощая это, получаем:
\[ x = 1 \pm 4\sqrt{6}/3 \]
Теперь найдем численные значения корней. Однако, поскольку логарифмы требуют, чтобы их аргументы были положительными, нужно удостовериться, что найденные значения удовлетворяют условию \( x - 5 > 0 \) и \( x + 3 > 0 \).
Проверим это условие:
- \( x - 5 > 0 \) означает \( x > 5 \)
- \( x + 3 > 0 \) всегда верно для \( x > -3 \)
Таким образом, требование \( x > 5 \) является более строгим. Теперь, подставим оба найденных значения в это неравенство, чтобы определить допустимые корни:
- \( x_1 = 1 + 4\sqrt{6}/3 \)
- \( x_2 = 1 - 4\sqrt{6}/3 \)
Из них только первый корень \( x_1 \) может удовлетворять условию \( x > 5 \).
Таким образом, окончательный ответ:
\[ x = 1 + \frac{4\sqrt{6}}{3} \]
Это значение является решением уравнения.
